Et gammelt triks...

Tekst og illustrasjoner:
Jon Haugstad
Filosofiske spørsmål:
Øyvind Olsholt
Sist oppdatert: 15. november 2003

Vi starter denne serien om algebra med en tankenøtt: uansett hvilket tall du putter inn i denne ligningen, blir nemlig svaret alltid 5!

Oppgaven

a. Velg et hvilket som helst tall
b. Legg 3 til tallet
c. Fordoble summen du får
d. Deretter trekker du fra 4
e. Trekk så fra det dobbelte av det tallet du valgte, og legg til 3

Uansett hvilket tall du velger, så blir resultatet alltid 5! Hvordan kan dette være mulig?

Forklaring

La oss først stille opp denne oppgaven som en ligning med én ukjent: x (tallet vi skal velge). Denne ligningen blir seende slik ut:

2(x + 3) – 4 – (2 · x) + 3

(x+3) er tallet vårt lagt til 3. Hele denne summen skal vi nå gange med 2, altså 2(x + 3). Så skal vi trekke fra fire: – 4. Etter det skal vi trekke fra det dobbelte av tallet vårt, altså (2 · x). Til slutt skal vi legge til tre: + 3. Vi kan også skrive denne ligningen uten parenteser slik:

2x + 6 – 4 – 2x + 3

For å komme frem til dette uttrykket, brukte vi følgende regel:

Her ser vi at 2x forekommer to ganger, siste gang med minustegn foran seg. Vi har altså 2x - 2x. Og 2x - 2x er selvfølgelig 0 uansett hvor stor x måtte være. Derfor kan vi stryke både 2x og – 2x fra ligningen vår. Da står vi kun igjen med:

6 – 4 + 3

Og dette er jo alltid 5 for her er det ikke noen ukjent x med lenger! Trikset ligger altså i at vi i farten ikke oppdager at det vi egentlig gjør i denne oppgaven ikke er annet enn å regne ut 6 - 4 + 3!

Eksempler

La oss ta et par eksempler. Si at du velger tallet 4. Du setter x = 4, og får følgende regnestykke:

2(4 + 3) – 4 – (2 · 4) + 3 =
14 – 4 – 8 + 3 =
5

Dersom du velger tallet 10, får du samme resultat:

2(10 + 3) – 4 – (2 · 10) + 3 =
26 – 4 – 20 + 3 =
5

Hvis du fremdeles er i tvil, kan du prøve med et kjempestort tall, f.eks. x = 1 000 000. Eller du kan prøve med x = 0. Som du vil se: resultatet blir alltid 5.

Forklaring med bokser

Vi kan også forklare dette ved bokser slik at vi ser tydeligere hva vi gjør på hvert trinn:

a. Vi velger verdien for x:

b. Vi legger til 3 og får 7:

c. Vi fordobler summen:

d. Vi utsetter subtraksjonen av 4 til senere, og trekker fra det dobbelte av det opprinnelige tallet 4. Det vil si at vi trekker fra 2x:

e. Vi har da igjen 3 · 2 = 6

f. Til slutt slås 6 sammen med –4 og +3, og vi får 5 som resultat:

Ideer til filosofiske samtaler

---

1. Denne oppgaven begynner med at du skal velge et tilfeldig tall. Hvilket tall valgte du? Er det noen spesiell grunn til at du valgte dette tallet? Hvis ikke, hvorfor valgte du dette tallet da? Er noe som faller deg inn der og da alltid tilfeldig eller kan det være grunner til at noe faller deg inn? Kunne man si at det alltid er bestemte grunner til at noe faller oss inn, det er bare det at vi nesten aldri oppdager disse grunnene? Hva gjør du med høyre pekefinger akkurat nå? Er det en grunn til at den gjør det den gjør?
2. I denne oppgaven gikk vi fra en beskrivelse i ord og setninger til en matematisk ligning. Vi sa det samme både med ord og tall. Men vi kan også gå andre veien, fra en matematisk formel til beskrivelse i ord og setninger. Hvis vi f.eks. har følgende ligning:
   
   x + y + z = 12
   
   så kan den også uttrykkes slik: «Hvis du har 3 epler, 7 bananer og 2 pærer, har du tilsammen 12 frukter».
   
   Vi har altså to forskjellige språk, det matematiske språket og morsmålet, og begge kan brukes til å si noe om virkeligheten. Men er det alltid slik at matematikkens språk kan beskrive det vi sier og skriver i morsmålet? Hvor går grensen for det vi kan beskrive med matematikk? Kan matematikk beskrive følelser? Og hvor går grensen for det vi kan beskrive med morsmålet? Trenger vi begge språkene eller kunne vi klart oss med ett av dem?