Hva = en ligning?
Tekst og illustasjoner:
Jon Haugstad
Filosofiske spørsmål:
Øyvind Olsholt
Sist oppdatert: 22. mai 2007
I dette kapittelet skal vi se på
noen grunnregler for løsning av ligninger med én
ukjent. Det viser seg at balanse er et helt sentralt prinsipp når
man skal gå igang med ligninger — akkurat som ved vektløfting!
Også her avslutter vi gjennomgåelsen av reglene med
noen filosofiske tankevekkere, både for elever og lærere.
Ligninger handler om balanse
Leif Jenssen vant VM-sølv i vektløfting i 1970. I 1972 vant han
olympisk gullmedalje. Vektløfteren må passe
nøye på at det er like mange kilo på hver side
av stanga. Her løfter Jenssen 147,5 kg.
Å løse en ligning betyr å forenkle et matematisk
uttrykk som inneholder en eller flere ukjente størrelser.
Målet er å finne den eksakte mengde på denne
(eller disse) størrelsene.
For å finne den/de ukjente setter vi opp et regnestykke
med et likhetstegn i midten. Dette betyr at mengden på venstre
side av likhetstegnet skal være nøyaktig lik mengden
på høyre side — akkurat som på en vekt.
Når en delmengde består av en ukjent faktor, må
vi finne ut hvor stor mengde denne faktoren har. Det er nærliggende
å sammenligne med torghandleren, som legger fisken på
den ene skålen i vekten og endel lodd i den andre. Når
han summerer «mengdene» i loddene, vet han hvor mye
fisken veier.
Et annet eksempel er hentet fra idretten. En vektløfter
lesser på så mye vekter som han greier å løfte.
Ikke bare det, han må også passe på at det er
like mange kilo på hver side av stanga.
Forskjellen mellom torghandleren, vektløfteren, og en matematiker,
er at den siste kan legge på så mye som han vil på
begge sider, uten at noen vekt knekker, eller en idrettsmann går
i gulvet.
Forskjellene
mellom Jensen og Wiles er mange. Wiles kan ikke løfte 147,5
kilo, og Jensen kan neppe løse ligningene til Wiles. Jensen
kan ikke gange med 2 kg på hver side av stanga — da
går han på trynet. Wiles kan gange med så mye
han vil uten at tallene detter ned fra tavlen. Men begge har det
felles at de må passe på at det er like mye på
hver side!
Andrew Wiles (til høyre) er en av de største
nålevende matematikere. Han lever så å si av
ligninger. Mens vi andre dødelige har nok med å finne
den ukjente x, opererer Wiles med et helt alfabet av ukjente faktorer
i sine ligninger.
Vi forenkler
I det følgende skal også vi passe på at det
blir like mye på hver side. Det gjør vi ved å
bestemme verdien på den ukjente. Da må vi gjøre
som Al Khwarizmi: vi må forenkle!
Regel 2:
Ligninger kan forenkles ved å legge til like mye på
hver side.
Eksempel 1
Problem:
x – 2 = 3
Vi flytter alle kjente tall over på høyre side. Det
gjør vi ved å legge til 2 på hver side av likhetstegnet.
Vi får:
x – 2 + 2
= 3 + 2
Dette fører til løsningen:
x = 5
Regel 3:
Ligninger kan forenkles ved å legge til like mye på
hver side.
Eksempel 2
Problem:
x + 5 = 7
Vi flytter alle kjente tall over på høyre side. Det
gjør vi ved å trekke fra 5 på hver side. Vi
får:
x + 5 – 5
= 7 – 5
Dette fører til løsningen:
x = 2
Det vi egentlig har gjort ovenfor, er ikke annet enn å flytte
de hele tallene over på høyre side.
Regel 4:
Ligninger kan forenkles ved å trekke fra like mye på
hver side.
Eksempel 3
Problem:
x/2 = 5
Fremdeles er det likegyldig hvor mye det er på hver side.
På venstre side har vi halvparten av x. Vi vil vite hva x
er, og da må vi multiplisere med 2. Samtidig må vi
passe på å multiplisere med 2 også på høyre
side, og vi får derfor:
2 · x/2
= 2 · 5
Nå skal vi forkorte på venstresiden. Det kan vi gjøre
ved å stryke tallet «2» i teller og nevner —
for 2x delt på 2 er jo det samme som x. Vi får da følgende
svar på problemet:
x = 2 · 5 = 10
Regel 5:
Ligninger kan forenkles ved å multiplisere med like mye på
hver side.
Eksempel 4
Problem:
5x = 10
For å få en enslig x på venstre side, må
vi nå dividere på hver side med 5, og vi får
løsningen:
5x/5 = 10/5
På samme måte som i forrige eksempel stryker vi nå
tallet «5» i teller og nevner, og ender opp med resultatet:
x = 2
Regel 6:
Ligninger kan forenkles ved å dividere med like mye på
hver side.
Eksempel 5
Problem:
2x/3 + 2x/5 = x + 5
Her må vi først må finne fellesnevneren for
nevnerne 3 og 5. Fellesnevneren er 15. For at begge brøkuttrykkene
skal få samme nevner, må derfor 3 multipliseres med
5 og 5 multipliseres med 3:
2x · 5/3
· 5 + 2x · 3/5
· 3 = x + 5
Legg merke til at det å multiplisere nevner og teller med
samme tall ikke endrer størrelsen på uttrykket på
høyresiden. Derfor trenger vi heller ikke å gjøre
noe med venstresiden i uttrykket (x + 5) i forbindelse med denne
operasjonen. — Dette gir oss følgende:
10x/15
+ 6x/15 = x + 5
Siden begge brøkuttrykkene nå har samme nevner, kan
vi legge sammen det som står i tellerne på vanlig måte:
16x/15 = x + 5
Og når vi først er kommet så langt, er det
bare å benytte seg av regel 5 ovenfor, regelen som sa at
ligninger kan forenkles ved å multiplisere med like mye på
hver side. På denne måten får vi fjernet brøken
på venstre side (husk at både «x»
og «5» på høyresiden skal multipliseres
med 15):
16x = 15x + 75
Så må vi få alle x'ene over på venstresiden.
Dette gjør vi slik:
16x - 15x = 15x
- 15x + 75
Da blir vi til slutt stående igjen med:
x = 75
Regel 7:
Når ligninger består av brøker som har ulike
nevnere, må nevnerne gjøres like. Det gjøres
ved å multiplisere med samme tall oppe og nede for hver brøk.
Ideer til filosofiske samtaler
- Å løse ligninger handler som vi så om
å finne den rette balansen. Hvis vi glemmer å balansere,
tipper ligningen over til en av sidene og vi får galt
svar. Utenfor matematikken hender det ofte at mennesker mister
balansen: mennesker blir sinte, de glemmer å tenke før
vi snakker osv. Men det er lov, det er helt OK (i hvert fall
av og til…). Hvorfor er det aldri OK å miste balansen
i matematikken? Eller er det kanskje det? Kan det noen ganger
rett og slett være bra å ende opp med galt svar?
- Etter hvert «problem» serverte vi «regler».
Men hva er egentlig en regel? Her er noen forslag til definisjoner.
Hvilket forslag synes du er den som best forklarer hva en regel
er:
– En regel oppsummerer det vi nettopp har gjort.
– En regel forsøker å si med ord det alle
gjør uten å være klar over det.
– En regel forklarer hvordan noe skal gjøres uten
å gå i detaljer.
– En regel sier noe alment og universelt som gjelder
for mange enkelttilfeller.
– En regel er en sannhet som alle er forpliktet til å
følge.
- Forsøk å lage én regel for hvert av disse
tilfellene:
– Du åpner kjøleskapet, tar ut en uåpnet
melkekartong og setter den på bordet. Så tar du
en kniv og skjærer den over på midten — mens
kald melk fosser utover bord, duk, stoler… (Hm, du kommer
til å få kjeft for dette, men det er ikke så
farlig akkurat nå.) Når kartongen er ferdig skåret
over, ser du at den nederste delen er (nesten) full med melk,
den øverste delen er helt tom.
– Du ligger og sover. Plutselig setter vekkerklokken
i en forferdelig ringing. Du er mektig irritert over å
bli vekket nå som du sov så godt så du deiser
til vekkerklokken så den knuses mot veggen. Du snur deg
om og sover videre.
– Du har to gir på sykkelen din. Det første
er konstruert slik at 1 omdreining på pedalene bringer
deg 5 meter fremover; det andre bringer deg 10 meter fremover
for hver omdreining. Idag har du syklet 8364 meter og du har
brukt det første giret 25% og andre giret 75% av turen.
Men nå orker du ikke å regne ut hvor mange omdreininger
turen besto av.
|
|
|